Какой шаблон следует использовать для замены нулей и единиц в качестве показателей?

Я предполагаю, что вы действительно pythonic хотите сохранить x в x^1, поэтому regular-expressions мы можем использовать это regexp выражение с утверждением python просмотра назад, которое regular-expression не будет частью совпадения.

binomial = "625x^4+1500x^3+1350x^2+540x^1+81x^0"

print(re.sub(r"([a-z]\^0)|(?<=[a-z])\^1\b", "", binomial))
# Output 
625x^4+1500x^3+1350x^2+540x+81

[^...] — это python-shell not in ... выражение ^ необходимо perl-regex экранировать.