Как я могу изменить класс элемента с помощью JavaScript?

Вы также можете просто сделать:

document.getElementById('id').classList.add('class');
document.getElementById('id').classList.remove('class');

И htmldocument для переключения класса (удалите, если span существует, еще добавьте html-tag его):

document.getElementById('id').classList.toggle('class');